catanedelcu

suma de la 1 la 2011 este  2011*2012/2 = 2011*1006 = 2023066 care este un numar par deci se imparte la 2 (1011533)deci puricele poate sa reajunga in punctul initial.  
exemplu ilustrativ:  1,2,3,4,5,6,7     suma este 28 ...impartit in doua da 14 ...face stanga 7+6+1 si dreapta ce ramane 2+3+4+5 ...cam la fel si cu 2011.
cum calculam pasii ...se vede, cred.

catanedelcu

ah, daca deabia dupa primul pas ajunge in punctul A , suma devine impara. puricele nu mai ajunge la loc in A... scuze,  nu am fost atent ca deabia dupa pasul unu ajunge in A.

wmutex

Dupa fiecare pas puricele poate ajunge intr-un punct pe axa numerelor naturale, cosiderand punctul A fiind originea (0).

De exemplu:

La pasul 1 puricele ajunge in -1 daca sare la stanga, si la +1 daca sare la dreapta. Multimea valorilor posibile la pasul 1 este:

p[1] = {-1, +1}.

La pasul 2, poate sari la stanga sau la dreapta cu 2 unitati. Cu alte cuvinte, punctele in care ajunge dupa pasul 2 se obtin adunand +2 sau -2 la elementele de la pasul 1:

p[2] = {-2, +2} + p[1] =
           {-2, +2} + {-1, 1} =
           {-3, -1, +1, +3}.

La pasul 3 poate sari la stanga sau la dreapta cu 3 unitati de data asta. Locul unde ajunge dupa pasul 3 se obtin adunand +3 sau -3 la elementele de la pasul 2:

p[3] = {-3, +3} + p[2] =
           {-3, +3} + {-3, -1, 1, 3} =
           {-6, -4, -2, 0, +2, +4, +6}.

La fel, la pasul 4:

p[4] = {-4, +4} + p[3] =
           {-3, +3} + {-3, -1, 1, 3} =
           {-6, -4, -2, 0, +2, +4, +6}.

etc.

"Adunarea" intre doua multimi (asa cum e folosita mai sus) inseamna multimea tuturor adunarilor posibile:

{a[i] | i=1..m} + {b[j] | j=1..n} = {a[i] + b[j] | i=1..m, j=1..n}.

Se observa ca la fiecare pas k multimea pozitiilor posibile ale puricelui sunt numerele naturale intre -k(k+1)/2 si  +k(k+1)/2, din 2 in 2:

p[k] = { -k(k+1)/2, -(k+1)k/2 - 2, ...,  +k(k+1)/2 - 2, +k(k+1)/2}

(asta trebuie demonstrata prin inductie, ramane ca exercitiu)

Pentru ca 0 sa se afle printre elementele lui p[k] (ca puricele sa se intoarca dupa pasul k in puntul 0) trebuie ca k(k+1)/2 sa fie par, ceea ce inseamna ca (k sa fie de forma 4u sau 4u+3. 2011 = 4x520 + 3, deci puricele poate ajunge in puntul A(0) dupa 2011 pasi.

wmutex

Erata la ce-am scris ai sus:

p[4] = {-4, +4} + p[3] =
          {-3, +3} + {-6, -4, -2, 0, +2, +4, +6} =
          {-10, -8, -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6, +8, +10}.

wmutex

Drace!, iar am baut prea multa bere... :)) Corectie din nou:

p[4] = {-4, +4} + p[3] =
            {-4, +4} + {-6, -4, -2, 0, +2, +4, +6} =
            {-10, -8, -6, -4, -2, 0, +2, +4, +6, +8, +10}.

catanedelcu

@wmutex

Pasul 1 se consuma deja cand puricele sare de la O la A.  Acum, din A mai raman de facut pasii de lungime 2,3,...,2011  .  Suma pasilor din stanga lui A(S1) trebuie sa fie egala cu suma pasilor din dreapta lui A (S2) , pentru ca puricele sa reajunga in A, pana aici suntem de acord ,da ?   deci  S1 = S2  si  S1+S2=S  S=suma pasilor de la 2 la 2011.    deci 2S1=S  dar S este un numar impar...Suma de la 2 la 2011 e suma de la 1 la 2011 minus 1 adica 2023065 , numar impar . nu exista S1 intreg/natural astfel incat 2S1=S  deci puricele  nu poate ajunge inapoi in A.  Unde gresesc ?

problema zice daca puricele reajunge in A, adica in locul in care a ajuns dupa prima saritura.  asa scrie ..daca e pentru reajungerea in O atunci prima mea demonstratie e corecta.