Benu

Sa ma fereasca Dumnezeu de vreun barbat tamp, ca am citit de 4 ori textul problemei si tot nu pot sa-mi iau ochii de la imagine... oricum, din problema n-am inteles decat ca e ceva legat de suprafata... costumului de baie :-?  :))))))))))))))

wmutex

Hmm... o sa incerc abordarea canonica. Deh!, sunt inginer, deci sunt conditionat de metoda... :D

1. Modelarea problemei:

Ok, mai intai torie: sa presupunem ca exista o forma (corp) standard pentru "cartof": cartofoidul (ceva gen elipsoid, dar mai putin regulat). Un cartofoid poate fi "dilatat" ori "contractat" (ok, matematic vorbind, tranformarea se numeste omotetie) obtinandu-se astfel cartofi mai mari sau mai mici. Gradul transformarii e un numar real pozitiv k care masoara cat de mult am dilatat sau contractat cartofoidul: pentru dilatare k>1, pentru contractie  k<1. Transformarea identica are k=1.

Gradul k al omotetiei da intotdeuna informatii despre cat de mult cresc sau scad proportional lungimile specifice, aria si volumul corpului transformat (in cazul nostru, cartofoidul). Daca un cartofoid (mare) are lungimea specifica L, suprafata S si volumul V, atunci un cartofoid mai mic, de grad k<1 va avea lungimea specifica kL, suprafata k²S, si volumul k³V. Asta n-ar trebui sa fie surpriza pentru nimeni; de exemplu, un cub cu latura 2, comparat cu un cub cu latura 1, are suprafata de 4 ori mai mare si volumul de 8 ori mai mare. La fel: o sfera cu raza 3, comparata cu o sfera cu raza 1, are suprafata de 9 ori mai mare, si volumul de 27 de ori mai mare; etc.

2. Traducerea problemei in limbaj matematic:

Acuma, problema reformulata: fie un cartofoid cu suprafata S, volumul V. Doi cartofoizi de grad k1>0 si k2>0 in raport cu cartofoidul dat initial, fiecare avand suprafetele S1 si S2, si volumele V1, V2 respectiv, au proprietatea ca:

V1 + V2 = V

Care este relatia intre S1 + S2 si S?

(continua mai jos...)

wmutex

(continuare)

3. Rezolvarea problemei:

V1 + V2 = V   =>
(k1³ + k2³)V = V   =>
k1³ + k2³ = 1

Deci, asa cum ne asteptam, se observa cu ochiul liber ca, daca k1 si k2 sunt strict pozitive (nu vorbim inca de "dark potatos" cu volum negativ, ori de "null potatos" cu volum zero), atunci:

0 < k1 < 1
0 < k2 < 1

de unde rezulta:

0 < k1³ < k1²
0 < k1³ < k1²

deci:

k1³ + k2³ < k1² + k2²

de unde, cu ce-am gasit pana acum, rezulta:

1 < k1² + k2²   =>
S < S(k1² + k2²)

deci:

S < S1 + S2

5. Interpretarea rezultatului:

Suprafata cartofului mai mare este mai mica decat suma suprafetelor cartofilor mai mici, deci, aparent, e mai usor de curatat un singur cartof mare decat doi mai mici.

(continua mai jos...)

wmutex

(continuare)

6. Limitele rezultatului si probleme ulterioare:

Modelul matematic pentru ce trebuia aflat prezinta urmatoarele probleme:

- pana acuma am considerat cartofii "asemenea" (omotetia de care vorbeam la inceput e generalizarea notiunii de asemanare din geometria plana in spatii afine). Dar ce se intampla cand cartofii nu sunt asemenea? Intuitia spune ca e mai greu de curata un cartof mai lunguiet decat unul rotund (fiindca, la acelasi volum, orice protuberanta adauga suprafata inutila pentru "a inconjura" acel volum; la urma urmei, de asta sfera este cea mai eficient container, de asta picaturile de apa tind sa aiba forme sferice cand nu sunt supuse unui flux de aer in imponderbilitate etc.). Pentru a da raspuns precis la astfel de probleme e nevoie de mai multe informatii despre forma cartofilor, si de o matematica mai complicata decat principiul lui Cavalieri generalizat. Probabil se ajunge la analiza matematica superioara, integrale de suprafata/volum, pe-acolo...

- curatarea cartofului e doar o prima etapa; cartofii trebuie taiati felii, ori taiati pai, si asta schimba un pic problema. A felia 2 cartofi comparat cu a felia unul singur e o conditie suplimentara (intuitiv, e mai mult de munca la 2 cartof; asta n-ar schimba rezultatul) deci formularea matematica ar trebui ajustata.

- pana acuma n-am cuantificat deloc "usurinta de curatare." Cat de mare poate fi un cartof care e inca usor de curatat? De exemplu, daca nu incape in palma, probabil ca tot avantajul suprafetei mai mici se duce pe apa sambetei...

- iarasi, n-am introdus factorul psihologic. Oamenii sunt mai degraba predispusi sa duca un task mare pana la capat decat 2 mai mici, pentru ca la al doilea se plictisesc; deci...

Pentru toate belelele modelului matematic trebuie gasite forme mai rafinate ale problemei... cu conditia ca asta sa intereseze pe cineva. :D

(continua mai jos...)