METODA 1


Mai intai sa vedem ca :
1.  Orice numar prim poate fi scris in forma 6n +/-1

Demonstratie:  orice nr. n este de forma
n = 6p+r
unde  r  poate fi   1,2,3,4,5

Pt.   r = 2 sau r=4 vedem ca n=2(3p+1) sau     n=2(3p+2)  se divide cu 2 deci nu poate fi prim
Pt.  r = 3 , n=3(2p+1)  se divide cu 3 deci iarasi nu poate fi prim

deci daca n e prim,  nu poate fi decat de forma  6p+1 sau  6p+5=6(p+1) - 1  

deci orice nr. prim e de forma  6n +/- 1

2.  p^2 - 1 =  (6n +/- 1)^2 - 1  = 12n(3n  +/-  1)

n(3n +/- 1)   este par ( se vede simplu considerand  pe rand n=par sau inpar )  deci
este de forma 2s

deci

p^2 - 1  = 12 * 2s = 24 * s

de aici   p^2 - 1 este divizibil cu 24


METODA 2  (    care se gaseste dand search pe Google dupa  "p^2-1"   )

p^2 - 1  = (p+1)(p-1)    p este prim deci p+1 si p-1 sunt pare

notam p+1=2k

p^2-1 = 2k(2k-2) = 4 * k(k-1)  dar k(k-1) e par  pt. orice k deci

p^2 - 1 se divide cu 4*2 = 8

acum:  in sirul  p-1,  p  , p+1  exista un nr. divizibil cu trei , evident , pentru ca sunt trei  numere consecutive . cum p e prim , nu mai ramane decat ca p-1 sau p+1  se divide cu 3 deci (p+1)(p-1) este divizibil cu 3

deci p^2-1 este divizibil cu 8 si cu 3 deci este divizibil cu 24