wmutex

RE:  Da, ai dreptate, am gresit la calcule. :-)

Ma rog, ideea era urmatoarea: pentru ca  S(n) = 1! + 2! + ... + n! sa fie divizibil cu un numar p<n e suficient ca p sa divida S(p-1), fiindca ceilalti termeni din S(n) (si anume p!, (p+1)!, ...,  n!) contin drept factor numarul p, deci sunt divizibili cu p.

Dat fiind ca

(a*b) mod p = (a mod p) * (b mod p) mod p,

avem

(k+1)! mod p = (k! mod p)*(k+1) mod p pentru k+1<p

de unde rezulta resturile pentru p=23

1! mod 23 = 1
2! mod 23 = 1*2 mod 23 = 2
3! mod 23 = 2*3 mod 23 = 6
4! mod 23 = 6*4 mod 23 = 1
5! mod 23 = 1*5 mod 23 = 5
6! mod 23 = 5*6 mod 23 = 7
7! mod 23 = 7*7 mod 23 = 3
8! mod 23 = 3*8 mod 23 = 1
9! mod 23 = 1*9 mod 23 = 9
10! mod 23 = 9*10 mod 23 = 21
11! mod 23 = 21*11 mod 23 = 1
12! mod 23 = 1*12 mod 23 = 12
13! mod 23 = 12*13 mod 23 = 18
14! mod 23 = 18*14 mod 23 = 22
15! mod 23 = 22*15 mod 23 = 8
16! mod 23 = 8*16 mod 23 = 13
17! mod 23 = 13*17 mod 23 = 14
18! mod 23 = 14*18 mod 23 = 22
19! mod 23 = 22*19 mod 23 = 4
20! mod 23 = 4*20 mod 23 = 11
21! mod 23 = 11*21 mod 23 = 1
22! mod 23 = 1*22 mod 23 = 22

De-aici:

S(22) mod 23 = (1+2+6+1+5+7+3+1+9+21+1+12+18+22+8+13+14+22+4+11+1+22) mod 23 = 20. Si nu zero, cum am obtinut fiindca adunasem un 3 de doua ori... Iar baza de numeratie era doar o "sperietoare de ciori": in orice baza de numeratie 1234 este mai mare decat 23 in baza zece.

O alta idee este de-a verifica direct in wolframalpha cu formula data de d-ta. :D

Oricum, suma este divizibla cu 11. :-)