Cazimir

Descompunerea trebuie facuta in factori egali sau cel mult 1 diferenta, altfel se poate gasi un produs mai mare.
Sa presupunem ca a si b unt factori ai descompunerii si diferenta lor e mai mare de 1, adica a>b+1 (a-b-1>0) atunci:
(a-1)*(b+1)=a*b+(a-b-1)>a*b
Sa luam n=x+x+..+x de y ori, echivalent cu n=y+y+...+y de x ori. Trebuie comparate produsele, care sunt x^y si y^x. O demonstratie similara am facut aici, iar numarul mai mare este in x^y in cazul in care x < y, si are un maxim la x=2.71, dar cum e vorba de nr naturale, x = 3.
Pentru n=20, 20=2+3+3+3+3+3+3 are produsul maxm 2+3^6=1458
Pentru n=2019, 2019=3^673.
In general
n=3+3+..+3 pentru n de forma 3*k
n=2+3+3+..+3 pentru n de forma 3*k-1
n=2+2+3+3+..+3 pentru n de forma 3*k-2. Descompunerea n=4+3+3+...+3 da acelasi produs.