catanedelcu

o chestie de noapte...3,4,5 nr. pitagoreice atunci si 3n, 4n, 5n sunt si ele pitagoreice deoarece

(3n)^2 +(4n)^2 = 9n^2+16n^2 = 25n^2 = (5n)^2

Aria este  A=(3n)*(4n)/2 = 6n^2
Perimetrul este   P = 3n+4n+5n = 12n    => raportul numeric  dintre  A si P este

A/P =( 6n^2 ) / (12n) = n/2   deci

A= (n/2) P

in cazul nostru , alegand n=4 ,  deci pt. numerele pitagoreice 12,16,20 avem  A=2P

(   A=16*12/2=192/2=96 = 2 P =2*48     )

La inceput nu citisem si indiciul cu tr. dreptunghic si ma avantasem vitejeste in cosmaruri matematice....3,4,5 mi-a luminat calea decisiv.

gabyteodor

Heron + Conditia => (pt orice triunghi)
2*(a+b+c)=1/4 radical [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
8 (a+b+c)=radical [(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

64(a+b+c)=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
a+b+c=p
64p=(p-a)(p-b)(p-c)

64 p = -a b c+a b p+a c p-a p^2+b c p-b p^2-c p^2+p^3
64p=p^3-p^2(a+b+c)+p(ab+bc+ca)-abc

64p=p(ab+bc+ca)-abc

mai departe ... e de teoria numerelor cu niste chestii interesante da nu am timp sa mai scriu

lucipet

Potrivit enuntului trebuie sa avem S=2P unde p=perimetrul sau
S=4p unde p=semiperimetrul p=(a+b+c)/2 ,in triunghi oarecare,
deci cautam a,b,c    a.i.    S=4p    (p semiperimetrul)
Dar (Heron) S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) =>
16p^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) => 16p=(p-a)(p-b)(p-c) sau

  64(a+b+c)=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) care nu are
solutii intregi pozitive .
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-a%2Bb%2Bc%29%28a%2Bb-c%29%28a%2Bc-b%29%3D64%28a%2Bb%2Bc%29+and+a%5E2%23b%5E2%2Bc%5E2

ixirimdi

Problema se refera in principal la tr dr si se arata ca sunt doar trei astfel de tringiuri
Unul este tr lui catanedelcu :)

catanedelcu

tot pe rationamentul cu triplete generatoare ...pt 5n,12n,13n   si n =2 gasim tr. dr.

10,24,26

A=240/2 = 120  
P =60

deci A = 2P

Si tot prin incercari mai gasim

9,40,41    cu A=180  P=90


Acu' daca tot ne-ati intaratat ...exista vreo demonstratie ca astea trei ar fi unice ?

gabyteodor

am gresit mai sus
avem
64p=(p-2a)(p-2b)(p-2c), p=a+c+b
64p=-8 a b c+4 a b p+4 a c p-2 a p^2+4 b c p-2 b p^2-2 c p^2+p^3
64p=p^3-2p^2(a+b+c)+4p(ab+ac+bc)-8abc
64p=-p^3+4p(ab+ac+bc)-8abc
64p=-p^3+4(a+b)(a+c)(b+c)-12abc

wmutex

O sa dau cu bata in balta, ca inginer ce sunt: asemenea triunghiuri nu exista in Sistemul International de unitati pentru ca perimetrul se masoara in metri iar aria in metri patrati.

Inainte sa mi se sara la gat, urlu tare si preventiv: Glumesc! Glumesc! Haida bre! nu stiti de gluma?! :))

wmutex

Si, in caz ca e cineva interesat de solutii generale pentru problema generala

Aria = n*Perimetrul

unde P = a + b + c

iaca o lista cu cateva valori:

n=1, a=5, b=12, c=13
n=1, a=6, b=8, c=10
n=1, a=6, b=25, c=29
n=1, a=7, b=15, c=20
n=1, a=9, b=10, c=17
n=2, a=9, b=40, c=41
n=2, a=9, b=75, c=78
n=2, a=10, b=24, c=26
n=2, a=10, b=35, c=39
n=2, a=11, b=25, c=30
n=2, a=11, b=90, c=97
n=2, a=12, b=16, c=20
n=2, a=12, b=50, c=58
n=2, a=13, b=14, c=15
n=3, a=13, b=84, c=85
n=2, a=14, b=30, c=40
n=3, a=14, b=48, c=50
n=3, a=14, b=61, c=65
n=2, a=15, b=15, c=24
n=2, a=15, b=26, c=37
n=3, a=15, b=34, c=35
n=3, a=15, b=36, c=39
n=3, a=16, b=30, c=34
n=3, a=16, b=52, c=60
n=3, a=17, b=25, c=26
n=3, a=17, b=25, c=28
n=2, a=18, b=20, c=34
n=3, a=18, b=24, c=30
n=3, a=18, b=75, c=87
n=4, a=18, b=80, c=82
n=3, a=19, b=60, c=73
n=3, a=20, b=20, c=24
n=3, a=20, b=21, c=29
n=4, a=20, b=48, c=52
n=3, a=20, b=51, c=65
n=4, a=20, b=70, c=78
n=3, a=21, b=45, c=60
n=4, a=21, b=89, c=100
n=3, a=22, b=26, c=40
n=4, a=22, b=50, c=60
n=4, a=24, b=32, c=40
n=3, a=24, b=35, c=53
n=5, a=24, b=70, c=74
n=4, a=25, b=29, c=36
n=3, a=25, b=33, c=52
n=4, a=25, b=38, c=51
n=2, a=25, b=51, c=74
n=5, a=25, b=60, c=65
n=4, a=26, b=28, c=30
n=5, a=26, b=51, c=55
n=3, a=27, b=30, c=51
n=5, a=28, b=45, c=53
n=4, a=28, b=60, c=80
n=3, a=28, b=65, c=89
n=6, a=28, b=96, c=100
n=3, a=29, b=60, c=85
n=4, a=30, b=30, c=48
n=5, a=30, b=39, c=39
n=5, a=30, b=40, c=50
n=4, a=30, b=52, c=74
n=3, a=30, b=56, c=82
n=6, a=30, b=68, c=70
n=6, a=30, b=72, c=78
n=5, a=31, b=68, c=87
n=3, a=32, b=50, c=78
n=6, a=32, b=60, c=68
n=2, a=33, b=34, c=65
n=5, a=33, b=41, c=58
n=6, a=33, b=56, c=65
n=6, a=33, b=75, c=90
n=6, a=34, b=50, c=52
n=6, a=34, b=50, c=56
n=5, a=34, b=56, c=78
n=6, a=34, b=61, c=75
n=3, a=35, b=44, c=75
n=6, a=35, b=53, c=66
n=6, a=35, b=65, c=82
n=5, a=35, b=75, c=100
n=6, a=35, b=78, c=97
n=7, a=35, b=84, c=91

wmutex

Haha... si acum provocare (pentru cine nu pricepe punctul de vedere al lui catanedelcu vis a vis de problemele de gen): care e cvadrupluplul (n, a, b, c) care urmeaza in lista de mai sus? :))