maura1981

Nu am foarte mult timp acum sa ma gandesc la problema, dar ideea mea ar fi sa vedem cam cum arata k+S(k) pentru orice numar natural k si sa vedem ca nu pot fi doua numere consecutive care sa lipseasca atunci cand k parcurge multimea numerelor naturale.

Daca k este un numar natural de forma scris in baza 10 cu cifrele a_m,...a_0, adica k=10^m*a_m+10^{m-1}*a_{m-1}+..+10*.a_1+a_0, atunci k+S(k)=(10^m+1)*a_m+(10^{m-1}+1)*a_{m-1}+...+11*a_1+2*a_0. Acum sa incercam sa dam valori lui m si cifrelor a_0, ...,a_m.

Daca m=0, atunci avem numerele formate doar dintr-o cifra a_0, pentru care k+S(k)=2*a_0, adica 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18. Observam ca 5 dintre numerele k+S(k) cu k de o cifra sunt si ele de o cifra (k=0,1,2,3,4) si 5 au deja doua cifre (k=5,6,7,8,9). Si mai observam ca k+S(k) este o progresie aritmetica cu pasul 2 cand k este dintr-o cifra. Acest fapt este foarte important.

Sa trecem la m=1, adica numere formate din doua cifre a_1 si a_0 pentru care k+S(k)=11*a_1+2*a_0.
Cand a_1=1, k+S(k) parcurge multimea 11,13,15,17,19,21,23,25,27,29.
Cand a_1=2, k+S(k) parcurge multimea 22,24,26,28,30,32,34,36,38,40.
....
Cand a_1=9, k+S(k) parcurge multimea 99,101,103,105,...,115,117.

Prin urmare cand m=1, k+S(k) parcurge multimea S_1=numerele de la 0 la 117, cu exceptia catorva valori izolate (1,3,5,7,9,20,31,42,53,64,75,86,97,108,110,112,114,116) care nu sunt niciodata numere consecutive.

Cand m=2, k+S(k) parcurge multimea S_2 care se obtine adaugand la valorile din S_1 multipli de 101...si cum in S_1 nu avem doua numere consecutive care sa lipseasca, S_2 are aceeasi proprietate.

Cazul m general se poate obtine prin inductie matematica.