wmutex

---- Prima etapa: formula depunerii D[n].

Depunerile initiale sunt:

D[1]=x
D[2]=y

Depunerea a treia, a 4-a, a 5-a etc au forma

D[3] = D[2]+D[1] = x + y
D[4] = D[3]+D[2] = x + 2y
D[5] = D[4]+D[3] = 2x + 3y
...
D[n] = D[n-1] + D[n-2] = a[n]x + b[n]y

Evident ca D[n] va fi un polinom liniar in x si y cu coeficienti ce depind de n, iar coeficientii trebuie sa satisfaca la randul lor formula depunerilor, rezulta:

a[n] = a[n-1] + a[n-2], n>1
b[n] = b[n-1] + b[n-2], n>1

Ambele siruri satisfac formula de generare a sirului lui Fibbonacci F[n], doar ca:

a[2]=0=F[0], a[3]=1=F[1]
b[2]=1=F[1], b[3]=1=F[2]

de unde rezulta ca:
a[n] = F[n-2]
b[n] = F[n-1]

A douazecea depunere va fi deci:

D[20] = a[20]x + b[20]y = F[18]x + F[19]y = 2584x + 4181y = 1000000

-- A doua etapa: rezolvarea ecuatiei D[20]=1000000.
Ecuatia (liniara, diofantica) este:

2584x + 4181y = 1000000

Rezolvarea poate fi facuta manual (calcularea coeficientilor Bezout, apoi scrierea solutiei generale, apoi alegerea solutiei/solutiilor potrivite pentru conditiile problemei), fie printr-un calculator online, cum e de exemplu http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM

Introducerea coeficientilor in calculator (0, 0, 2584, 4181, -1000000) conduce la solutia generala:
x = x = 154 + 4181 t
y = 144 - 2584 t

unde t este un numar intreg.

Este clar pentru t>0 vom avea y<0 (ceea ce e absurd), iar pentru t<0 vom avea x<0 (iarasi absurd). Nu ramane decat valoarea t=0, pentru care:

x = 154
y = 144