Chryz

asta e prea grea

aveng3r_raul

un sistem cu 10 ecuatii
a+b=0
a+c=6
a+d=11
a+e=12
b+c=17
b+d=20
b+e=23
c+d=26
c+e=32
d+e=37
mai trebuia calculat...:| la ora asta nus in stare..

matchless

0,1,2,3,4

Ditzu

-3 3 9 14 23 e gandita...nu pot sa va explic cum am gandit e vb de diferentele dintre sume..sper sa fie asta solutia

Ditzu

diferenta intre 6 si 12 este de 6, dintre 11 si 17 tot de 6, dintre 17 si 23 tot de 6 si dintre 26 si 32 tot de 6 deci am considerat ca numerele se aduna ori cu 6/2 ori cu -6/2 astfel afland primele 2 numere 3 si -3...iar pe urma pentru celelalte le-am aflat mai usor ies imediat

DannCapitanDePlai

-3, 3  9, 14, 23

DannCapitanDePlai

Acum vad ca Ditzu a raspuns primul :D Pe aceeasi idee am mers si eu ;) Faina problema

alexmaduta

eu zic ca problema nu e  formulata corect..."aduni doua cate doua"....dar cum?? ..care cu care??..nu ar trebui data o ordine?

Chryz

Notăm cele 5 numere întregi diferite cu: a, b, c, d şi e.
Adunând valorile sumelor se obţine:
a+b+a+c+a+d+a+e+b+c+b+d+b+e+c+d+c+e+d+e=0+6+11+12+ 17+20+23+26+32+37.
Adică: 4*(a+b+c+d+e)=184. Rezultă: a+b+c+d+e=46.
Dacă a+b=0, rezultă: a= -b şi c+d+e=46    (1)
Fie b>0. Atunci: a<0.
Deoarece nici o sumă nu este negativă, rezultă că c, d, e sunt pozitive, iar modulele lor sunt mai mari decât modulele numerelor a şi b.
Atunci: a<0<b<c<d<e.
Rezultă că: 0=a+b şi 6=a+c (cele mai mici sume sunt egale cu sumele celor mai mici numere). De aici rezultă că:
a= -b şi c=6+b.
De asemenea, 37=d+e (cea mai mare sumă este geală cu suma celor mai mari numere).    (2)
11=b+c sau 11=a+d.
Dacă b+c=11, iar a+c=6 rezultă că b+c+a+c=11+6. Adică: 2c=17 (fals, pentru că c este întreg).
Rezultă că a+d=11. Deci: d=11+b.
Folosind (1) şi (2), rezultă: c+37=46. Deci c=9.
Din a+c=6    =>    a+9=6. Deci: a= -3.
Deoarece a= -b        =>    b=3.
Din d=11+b    =>    d=14.
Din d+e=37    =>    e=23.
Astfel, numerele cerute sunt: -3, 3, 9, 14 şi 23.

buzdugans

Felicitarile mele lui Ditzu. O rezolvare intuitiva si rapida. Nu poate insa spune dc solutia este unica.
Deosebite consideratii pt bazil, rezolvaree ok, dar demonstrata prin metoda reducerii la absurd, tb sa mergi pe doua cai: una ca sa ajungi la contradictie si una pt gasirea solutiei (asa e reducerea la absurd - cam anevoioasa, dar merge).

O alta rezolvare:

Fie a,b,c,d,e cele 5 numere.
Daca se aduna toate sumele se obtine 184
Se observa ca ca fiecare numar participa la 4 sume, deci in suma tuturor sumelor fiecare numar participa de 4 ori
Adica,
4a+4b+4c+4d+4e=184
=>...=>
a+b+c+d+e=46 (este acelasi lucru ca si inceputul solutiei originale)

Acum avem o ecuatie, ne mai trebuie 4, ca sa obtinem un sistem de 5 ec cu 5 necunoscute.

Sa consideram a<b<c<d<e (le luam in ordine crescatoare)
Sumele
(a+b) < (a+c) sunt cele mai mici sume, respectiv,
(c+e) < (d+e) - cele mai mari.

Rezulta:
a+b=0
a+c=6
c+e=32
d+e=37
la care adaugam ecuatia
a+b+c+d+e=46

Avem un sistem de 5 ecuatii cu 5 necunoscute, rezolvandu-l ajungem la solutia
a=-3
b=3
c=9
d=14
e=23

Se refac si se verifica toate sumele:
a+b=0
a+c=6
...
d+e=37

S-a fortat problema sa se aseze pe un sistem clasic de ecuatii, care s-a devedit compatibil si determinat.
Mai exista si o alta rezolvare, o dau mai tarziu

buzdugans

Astept comentarii

:D

Fie a<b<c<d<e (in ordine crescatoare)
Sumele cel mai mici sunt date de numerele cele mai mici
a+b=0
a+c=6
respective sumele cele mai mari de numerele cele mai mari
c+e=32
d+e=37
Urmeaza partea cu presupuneri:

I. Fie a, par => b - par (suma a+b=0 este nr par), rspectiv: c - par , e - par, d -impar
Astfel rezulta ca (a+d) < (b+d) < (c+d) < (d+e) sunt sume impare

II. Fie a, impar = > b -impar, c - impar, e - impar, d - par (intors pe dos cazul anterior)
Deasemenea rezulta ca (a+d) < (b+d) < (c+d) < (d+e) sunt sume impare

Deci oricare ar fi numerele pare sau impare ordinea sumelor impare este aceeasi

Se observa ca sunt 4 sume impare, in ordine crescatoare 11, 17, 23, 37

Deci

a+d=11
b+d=17
c+d=23
d+e=37
la care se adauga
a+b=0

=> sistem cu 5 ecuatii, 5 necunoscute, se rezolva, =>

a=-3
b=3
c=9
d=14
e=23

Se refac si se verifica toate sumele:
a+b=0
a+c=6
...
d+e=37

E ok rezolvarea.

Lucru curios ca primul caz par,par,par,impar,par este contrazis de-abia dupa aflarea solutiei, desi solutia "iese" bine

Astept comentarii

:D

copilulstrazii

am si eu o intrebare pt cei care au dat diferite solutii: din cate se vede numerele le notam a, b, c, d, e....toti spunem ca 4*(a+b+c+d+e)=184 de unde a+b+c+d+e=46....fiecare scoate de aici o prima necunoscuta si in functie de acel numar descoperit prima data rezulta si celelalte numere....ultimii dintre voi care ati dat solutie la problema spun ca solutia ar fi: a=-3, b=3, c=9, d=14, e=23; dupa cum s-a mers la rezolvare stim ca a+b=0, a+b=6, a+c=11, a+d=12, a+e=17, b+c=20, b+d=23, b+e=26, c+d=26, c+e=32, d+e=37; daca am presupus ca b+d=23 iar la solutie s-a dat ca b=3 iar d=14 suma lor prin solutie ar fi 17.....ori noi am presupus ca b+d=23.....nu prea bate...deci nici solutia asta nu e buna....