Cotoiulcelbatran

10 papusi si 8 trenulete..

catanedelcu

(1)  Deci , titlu   :  "Nu chiar asa de simplu precum pare..."                          |
                                                                                                                      |==>
(2)   In enunţ     :  "Problema se rezolva cu cunostinte de clasa a V-a"        |

(1),(2) =>  baieti,  desi e de-a V-a  , dupa capu' vostru o sa va vina cam  greu s-o faceti    =>

(mai departe nu mai scriu)

=))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

(nickxyzt, sper ca stii de gluma,  stiu ca nu asta ai vrut sa zici,da' n-am putut sa ma abtin :))))

gabyteodor

Solutia in n este data de   x = 2 (9 n+7),   y = 8-5 n,   n apartine lui Z
Insa x si y tb sa fie natural. x>0, y>0
8-5n>0=> n={-inf ....0 1 }
9n+7>0=>n={0 1 .... inf}
=> 2 sol  n=0=>7 si 8; n=1 =>32 si 3

gabyteodor

*14 si 8 pt n=0

catanedelcu

Pana una alta,  Excel -> New -> (developer)Visual Basic -> Insert new module -> copy/paste ce e mai jos -> run


Public Sub pt()
k = 2
For i = 1 To Int(214 / 7)
 For j = 1 To Int(214 / 18)
      If i * 7 + j * 18 = 214 Then
          k = k + 1
          Sheet1.Cells(k, 2) = Str(i) & " papusi"
          Sheet1.Cells(k, 3) = Str(j) & " trenulete"
       End If
Next j
Next i
End Sub

rezultatul indica...................
10 papusi     8 trenulete
28 papusi     1 trenulete


Acum avem timp sa zicem si cum facem problema fara incercari : D

Pana acum , concluzia este ca e mai usor de dat solutia decat de rezolvat problema (deci un paradox)=>

1.Matematicienilor le este foarte greu sau aproape imposibil sa cumpere papusi si trenulete.

2.Programatorilor le este ceva mai usor, dar doar cand au un computer cu ei.

3.Cei care nu sunt nici matematicieni nici programatori cumpara papusi si trenulete din instinct. :)))))))

catanedelcu

Bine, deci e Vineri :D

Ceea ce a propus nickxyzt se numeste ecuatie DIOFANTICA . (in cazul nostru avem o ec. in forma de mai jos)

ax + by = c

ecuatiile astea, pe langa multa vorbaraie, zic asa : Daca avem o solutie particulara (x0,y0)  atunci solutia generala este data de:

x = x0 + b*k    si   y = y0 - a* k   cu     k є Z

acum, ecuatia noastra este   7x + 18y = 214  . sa vedem ce putem scoate:

7x = 214 - 18y   =>   x  = (214 - 18y)/7  =  ( 30*7 + 4 - 18y ) / 7  =  30  - (18y - 4)/7  dar x este un intreg pozitiv =>

(18y-4)/7 este un numar intreg  deci  18y - 4 = 7p  =>   y = (7p+4)/18    ecuatia 7p+4 = 18 are solutia  p = 2 =>

am gasit un y particular    y0 = (7*2 + 4) / 18  = 1   de aici vine si  x0 =  30 - (18y0 - 4)/7 = 28

avem acum o solutie particulara (x0,y0) = (28,1)  deci deducem de aici solutia generala a ecuatiei Diofantice :

x = x0 + b*k  =  28 + 18*k     |
                                                |  k є Z   plus ca x si y vrem sa fie mai mari ca 0 ca nu putem cumpara papusi cu minus
y = y0 - a*k  =  1  - 7*k           |


28 + 18*k >= 0  =>  k >=  -1   |
                                                  | =>  cum k este intreg ne ramane ca  k este  doar  0 si  -1
1-7*k >=0  => k <= 0              |

punand k , pe rand , 0 si -1 in expresia solutiei gemnerale obtinem


k=0    =>  x=28, y=1   adica  28 papusi si 1 trenulet
k=-1   => x=10, y=8   adica   10 papusi si 8 trenulete

gabyteodor

Problema se rezolvain felul urmator:
se presupune ca ar fi doar papusi: 214/7=30 rest 4
Daca restul era 0 inseamna ca nu aveam trenulete. Cum avem rest => exista trenulete.
De aici nu mai stiu cum se rationeaza sau mi-e lenet :)

maura1981

Ei, nici prea greu nu este!...Notam cu x numarul papusilor si cu y numarul trenuletelor. Prin urmare cautam doua numere naturale x si y astfel incat 7x+18y=214. Asa cum au spus si ceilalti,

x=(214-18y)/7=30-2y+4(1-y)/7,

adica 7 divide 1-y. Prin urmare, y poate fi 1,8,15, 22, etc...

Cu aceste valori ale lui y mai trebuie sa verificam si faptul ca x este natural si cum x=30-2y+4(1-y)/7, avem:
-pentru y=1, x=28, ok
-pentru y=8, x=10, ok
-pentru y=15, x=-8, adica deja am obtinut un numar negativ. Cu valori ale lui y mai mari nu mai are sens sa incercam pentru ca x ca functie de y este descrescatoare, deci cu cat sunt mai mari valorile lui y, cu atat sunt mai mici valorile lui x.

nickxyzt

Văd că trebuie să fac totul singur :)

7x + 18y = 208 <=> 7x = 208 - 18y, deci x = 29 - 2y + (5-4y)/7.

Numărul (5-4y)/7 trebuie să fie întreg, să-l notăm cu a.
a = (5-4y)/7, deci y = 1 - a + (1-3a)/4.

Numărul (1-3a)/4 trebuie să fie întreg, să-l notăm cu b.
b = (1-3a)/4, deci a = -b + (1-b)/3.

Numărul (1-b)/3 trebuie să fie întreg, să-l notăm cu c.
c = (1-b)/3, deci b = 1-3c.

Am obținut acum o expresie pentru b, care nu mai este o expresie fracționară.
Înlocuind înapoi în sus, obținem a = -1 + 4c,
y = 3-7c
x = 22 + 18c.

Trebuie acum să dăm valori lui c. Valorile pozitive ale lui c ne dau y negativ.
Începem cu 0, și obținem x = 22 și y = 3 (prima soluție).
Dacă c = -1, obținem x = 4 și y = 10 (a doua soluție).
Dacă c > -1, obținem x negativ.

Deci, cele două soluții sunt [22,3], [4, 10].

Nu cred că am depășit nivelul de cunoștințe de clasa a V-a!