catanedelcu

334 836 000  

explic imediat de ce :D

catanedelcu

so : suma de pe diagonala principala este egala cu suma de pe diagonala secundara cred ca nu trebuie sa mai arat de ce

acum , pe diagonala secundara avem termenii

...   .  .  .  .  .  .  .  .  .  n²
..............................
...   .  .  .  .  .  .  7².  . ...
...   .  .  .  .  .  5².  .  . ...
...   .  .  .  .  3².  .  .  . ...
...   .  .  .  1².  .  .  .  . ...
...   .  .  2²+1.  .  .  .  . ...
...   .  4²+1.  .  .  .  .  . ...
...   6²+1.  .  .  .  .  .  . ...
..............................
(n-1)²+1 .  .  .  .  .  .  . ...

unde n este impar si in problema noastra este 1001  iar +1 avem de 500 de ori , se vede repede, iar nu mai explic.

de-aici e simplu . Suma asta este suma de la 0 la 1001 din i²  plus 500 si minus 1 ( adica minus 0² pt. ca insumam de la 1 ).

acum stim ca suma din i² de la 0 la n este n(n+1)(2n+1)/6

1001*1002*2003/6 + 500 - 1  = 334 836 000

catanedelcu

ma rog,, in postul de mai sus am scris tot diagonala principala, e aia secundara.  sunt cam adormit :D

catanedelcu

ei ..la mine 0² face 1 ...ca sa stiti  :)))

Benu

Diagonala principala e cea spre stanga, diagonala secundara e cea spre dreapta. Desi eu cred ca le notam invers... nu ca as fi rezolvat problema, dar ziceam asa :P

wmutex

(Ok, demonstratia la problema, facuta ca un comentariu la un meci de box prin inductie)

(Comentatorul)
D-nelor si d-lor, ne aflam in seara aceasta in transmisiune directa de pe arena Spirala Nr. Intregi, la meciul inaugural. Mai intai cateva date tehnice despre noua constructie: ringul are latura de 2k+1, si este sponsorizat de Multimea Numerelor Naturale, careia ii multumim pe aceasta cale pentru noua facilitate sportiva. Dar iata ca apar luptatorii. Speaker-ul oficial face prezentarile chiar acum; vom reveni in legatura directa dupa acest moment oficial.

(Speaker-ul)
In coltul din dreapta sus, cu tricou galben in spirala de ordin 2k+1.... ELEMENTUL (2k+1)², cel mai puternic din ring pana in acest moment!!!

(Suporterii)
Huooooo, nu esti pe diagonala principala! huooo!...

(Speaker-ul)
In coltul din stanga sus, cu tricou rosu si cu 2k locuri in urma in clasamentul spiralei de ordin 2k+1.... ELEMENTUL (2k+1)² - 2k, una dintre vedetele serii!!!

(Suporterii)
Yeeeeee!, esti pe diagonala principala! hai stanga sus! uuuuu!!!...

(Speaker-ul)
In coltul din stanga jos, cu tricou galben si cu 4k locuri in urma primului clasat in clasamentul spiralei de ordin 2k+1.... ELEMENTUL (2k+1)² - 4k

(Suporterii)
Huooooo!, m*** diagonala secundara!!...

(Speaker-ul)
In coltul din dreapta jos, cu tricou rosu si cu 6k locuri in urma primului clasat in clasamentul spiralei de ordin 2k+1.... ELEMENTUL (2k+1)² - 6k, adevaratul challenger al acestei seri !!!

(Suporterii)
Di-a-go-na-la prin-ci-pa-la! Di-a-go-na-la prin-ci-pa-la!

(Comentatorul)
D-nelor si d-lor, vom reveni o data cu inceperea meciului, dupa o scurta pauza publicitara.

(Suporterii, scandand)
Di-a-go-na-la prin-ci-pa-la! Di-a-go-na-la prin-ci-pa-la!

(Pauza publicitara)

:-)

wmutex

(Comentatorul)
D-nelor si d-lor, revenim in transmisiune directa de pe arena Spirala Nr. Intregi, la meciul inaugural de box prin inductie/recurenta de pe ringul cu latura 2k+1. Va reamintim, chiar daca stiti, ca acest meci face parte dintr-un turneu "digonala principala contra diagonala secundara," inceput acum k intalniri.

In primul meci, pentru categoria k=0 (din ringul cu latura 1), va aducem aminte ca scorul final a fost egalitate:

Suma punctelor de pe diagonala principala: P(0) = 1
Suma punctelor de pe diagonala secundara: S(0) = 1

De atunci scorul a evoluat, la ultimul meci (pe ringul de latura 2k-1) scorul fiind P(k-1) la S(k-1)

Suna gongul, si meciul incepe cu o tatonare reciproca. Dar iata ca acum elementele de pe diagonala secundara se aduna brusc in incercarea de-a mari scorul in favoarea lor! Fantastic!

S(k) = S(k-1) + (2k+1)² + (2k+1)² - 4k

Priviti reactia fulgeratoare a elementelor de pe diagonala principala! Nu se lasa mai prejos, si incearca sa se grupeze in jurul scorului lor anterior!

P(k) = P(k-1) + (2k+1)² - 2k + (2k+1)² - 6k

Extraordinar meci! Dar suna gongul de final de repriza! Anticipam niste schimbari de semn in runda urmatoare... Pana atunci, publicitate.

(Acest eveniment v-a fost adus de: BERE! cel mai vechi antidepresiv din Romania)

2007cristian

Pe diagonala principală de la jumătate în sus avem:
1                                   +
3^2           - 2*1
5^2          - 2*2
7^2           -2*3
...............
1001^2 -   2*500
De la jumătate în jos avem:
3^2       -  3*2
5^2       -  4*3
7^2       -  5*4
........................
1001^   - 1000*999
Se calculează  pe coloane

mi-e somn  :))))

wmutex

(Comentatorul)
D-nelor si d-lor, repriza a doua a inceput deja! E o batalie extraordinara in ring, atat de dura incat luptatorii se descompun literalmente in membri!... aa, pardon, in termeni! Priviti cata tenacitata, cata daruire pentru acest meci!

S(k) = S(k-1) + 8k² + 4k + 2

P(k) = P(k-1) + 8k² + 2

Se pare ca diagonala principala a pierdut deja acest meci, dar asta nu conteaza; ea lupta in continuare pentru mentinerea scorului, desi sunt depasiti cu 4k puncte! Oh, the humanity!

Iata ca gongul final se aude, si arbitrii decid punctajul. Sunt multe discutii, dar din pacate nu le auzim peste vacarmul generat de suporterii diagonalei principale... Deliberarea dureaza mai mult decat ne asteptam... Dar iata ca arbitrul partidei face semn luptatorilor sa revina in ring... se indreapta spre ei, si... si... da! castigator la puncte si in acest meci, diagonala secundara! Oricum, diagonala principala a contribuit din plin la acest spectacol de box recursiv prin inductie!

S(k) = (4k+1)(2k²+4k+3)/3

P(k) = (2k+1)(4k²+4k+3)/3

Dam legatura in studio, pentru comentarii. D-nelor si d-lor, va multumim pentru atentia acordata!

(Moderatorul, in studio)
Mda. Ce parere aveti despre acest meci?

(Specialistul, in studio)
A fost un meci dezechilibrat din prima, chiar daca diagonala principala a luptat cu daruire pentru punctele ei. Coltul stanga-sus era in permanenta prins in corzi de coltul dreapta-sus. Cat despre coltul dreapta-jos, se cnoaste lipsa lui de experienta comparativ cu cea a coltului din stanga-jos. Va pot oferi cateva cifre, daca doriti: la meciul cu numarul k=500 (din Spirala cu latura 1001) punctajul adunat de diagonala secundara a fost

S(500) = 334 836 001

pe cand diagonala principala a adunat:

P(500) = 334 335 001

(Pana de curent)[/i

2007cristian

1                                   +
3^2           - 2*1
5^2          - 2*2
7^2           -2*3
...............
1001^2 -   2*500
De la jumătate în jos avem:
3^2       -  2+1
5^2       -  4+1
7^2       -  6+1
........................
1001^2   - 1000+1
S=1^2+...+1001^2 - 2(1+...+500)-2(1+2+...500)+500=1001*167*2003-501000+500=334335001