gabyteodor

1. Da
2. 32

wmutex

Pt. 1. Hmm... nu am o metoda completa, ci doar o idee. Pornesc de la conjectura ca orice pentagon convex poate fi separat in triunghiuri ascutitunghice.

Ideea de baza e de a gasi un punct in interiorul unui poligon convex astfel incat triunghiurile formate de laturile poligonului cu punctul interior sa fie ascutitunghice. Triunghiurile si patrulatrele convexe nu pot avea proprietatea asta, fiindca suma unghiurilor din jurul punctului interior este intotdeauna 360°. Impartit in 3 sau in 4 unghiuri, 360° va da intotdeauna cel putin un unghi neascutit (asta e evident). Poligonul convex cu cel mai mic numar de laturi care are sansa de-a avea un astfel de punct interior este pentagonul convex.

Daca acea conjectura e adevarata (nu stiu inca -- cine vrea sa ridice manusa e binevenit :D) atunci orice triunghi obtuzunghic poate fi impartit in 7 triunghiuri ascutitunghice, ca in figura. Cu albastru e triunghiul original, cu negru sunt "taieturile" suplimentare pentru partitionare.

wmutex

Pt. 2 Am gasit o solutie cu 12 triunghiuri (in care am aplicat iarasi ideea ca un pentagon poate fi impartit in 5 triunghiuri ascutitunghice). Cu albastru e patratul original, cu negru sunt taieturile, gri punctat sunt diagonalele (servesc drept ghid).

wmutex

Pt. 2 Am gasit o solutie cu 10 triunghiuri.

wmutex

Pt. 1 (continuare) Hmm... "conjectura" de care povesteam e falsa: nu orice pentagon convex poate fi impartit in 5 triunghiuri ascutite. Nu ramane decat de vazut care este modalitatea de-a gasi pentagonul "poatrivit".

wmutex

Pt. 2. Hm... in mod normal ar trebui sa existe o solutie cu 8 triunghiuri, fiindca cel putin 2 laturi ale patratului sunt "bucatite", asta inseamna 2 puncte interioare, asta inseamna 720° in interiorul patratului, + 360° in cliturile patratului + 2x180° la punctele de pe laturi; impartind la 180° intr-un triunghi obtinem nr. de triunghiuri:

Nr. triunghiuri = (720° + 360° + 2x180°) / 180 (°/triunghi) = 8 triunghiuri

Dar nu-mi trece prin cap nici o solutie...