wmutex

Intotdeauna se pot gasi triunghiuri cu cinci elemente egale, dar care nu sunt congruente. Ideea e de a gasi trunghiuri asemenea (deci 3 unghiuri egale) si 2 laturi respectiv egale, dar opuse unor unghiuri necorespondente. Dar mai bine sa lasam formulele sa vorbeasca. :-)

Constructia. Fie doua triunghiuri cu lungimile laturilor {a, b, c} respectiv {b, c, d}, ale caror laturi satisfac relatia:

(1) a/b = b/c = c/d

(2) a < b < c < d

Conform (1) cele doua triunghiuri satisfac definitia triunghiurilor asemenea. O teorema clasica din geometrie spune ca unghiurile triunghiurilor asemenea au masuri egale, deci cele 3 unghiuri si cele doua laturi {b, c} de masuri egale nu implica congruenta triunghiurilor.

Existenta. Mai ramane de demonstrat ca se pot gasi cele 4 valori a, b, c, d care satisfac (1) si (2) si conditiile de existenta a triunghiurilor. (1) de fapt este un sistem neliniar de 2 ecuatii cu 4 necunoscute, deci doua dintre solutii sunt "independente" si 2 sunt "dependente". Luand cei 2 parametri independenti

(3) u>0, v>0

atunci sistemul (1) are solutiile:

(4.1) a = u^2/v
(4.2) b = u
(4.3) c = v
(4.4) d = v^2/u

Impunand conditiile suplimentare:

(5) 2*v/3 < u < v

se observa ca inegalitatile (2) sunt satisfacute si, in plus, cu cele doua seturi {a, b, c}, {b, c, d} se pot construi triunghiuri (pentru cine e curios, nu trebuie demonstrat decat ca a+b>c si b+c>d, celelalte inegalitati decurg direct din (2)).

P.S. (adica Problema Suplimentara :D) Conditiile (5) sunt suficiente dar nu si necesare: limita inferioara a parametrului u e un pic mai jos de 2v/3. Problema noua: care sunt limitele parametrului u astfel incat solutiile (4.x) sa indeplineasca conditiile (2) si {a, b, c}, {b, c, d} sa fie, respectiv, laturile a 2 triunghiuri. :-)