Aria patrulaterului este data (printre altele) si de formula lui Bretschneider care este un fel de Heron de la triunghiuri aplicata la patrulatere si pe care o gasiti aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula


A(ABCD)=√ ( (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd*cos²((A+C)/2) )

unde A si C sunt unghiuri opuse ale patrulaterului iar s este semiperimetrul.

Acum, pentru ca aria sa fie maxima e de ajuns sa minimizam cos²((A+C)/2)

care se vede ca devine 0 pentru  A+ C = 180° si vom avea aria :

A(ABCD) =√( (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) )   =>

A(ABCD) = √((5-1)(5-2)(5-3)(5-4))  =  √24


PS. Ca o discutie adiacenta, din faptul ca unghiurile opuse au suma de 180° rezulta ca varfurile patrulateruli se afla pe un cerc (numindu-se patrulater ciclic) si de aici o teorema mai generala : Un poligon cu perimetrul constant are aria maxima cand varfurile sale se afla pe un cerc (adica este un poligon ciclic).

Comstructia o propun ca problema pentru maine, daca mi se aproba. :)