|
|
|
Tuesday, 21 july 2009 |
|
|
|
Bogăţiile regelui Darius |
Proposed by
bazil |
|
| (5 comments) | 6.741 times displayed |
 |
 Se povesteşte că, printre bogăţiile regelui Darius, cea mai mare era o uluitoare cantitate de lingouri de aur. Regele ţinea lingourile în visterie, în nişte saci de mătase, încuiaţi în lăzi făcute din lemn de cedru.
Într-o zi, după ce i-a dat unui arhitect un sac de lingouri pentru a începe construcţia unui nou palat şi a primit alţi doi de la minele de aur, regele a poruncit vistiernicului să numere lingourile.
Acesta ştia că în fiecare sac se află acelaşi număr de lingouri şi în fiecare ladă acelaşi număr de saci, egal cu numărul de lingouri dintr-un sac. Totodată, acesta mai ştia că erau tot atâtea lăzi în visterie, câte lingouri în fiecare sac şi a făcut repede calculul, trecându-l pe un papirus, alături de alte calcule. Dar, punându-l în buzunar, acesta s-a rupt. Se mai ştie doar că numărul total de saci este format din şase cifre şi că poate fi obţinut prin alăturarea convenabilă a două dintre numerele următoare: 102, 136, 185, 223, 268, 283, 327, 399.
Câte lingouri de aur a costat începerea lucrărilor de construcţie a palatului? |
|
|
Notăm cu x numărul de lingouri dintr-un sac = numărul de saci dintr-o ladă = numărul de lăzi din visterie.
Atunci, numărul total de saci va fi: N = x^2 - 1 + 2. Adică: x^2 = N - 1 (1).
Se ştie că N este un număr natural. Atunci, căutăm combinaţia pentru care avem o soluţie naturală pentru ecuaţia (1). Scăzând câte o unitate din resturile de numere înscrise pe papirus, obţinem: 101, 135, 184, 222, 267, 282, 326, 398.
Însă, ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi doar: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Rezultă că numai combinaţiile 101, 135, 184 sau 326 pot fi acceptate ca fiind ultima parte a lui x.
Combinaţia 135 nu poate fi, pentru că x^2 ar avea ca factor pătratul lui 5 şi, în acest caz, ultimile două cifre sunt diferite de 00, 25, 50 sau 75.
Totodată, nici combinaţia 326 nu poate fi, pentru că x^2 ar avea ca factor pe 4 (pătratul lui 4 sau al lui 6 se divide cu 4), iar ultimile două cifre nu formează un număr divizibil cu 4. Rămân doar două posibilităţi: 101 sau 184.
I). Dacă ultimile trei cifre sunt 101, atunci x^2 ar putea fi: 136101, 185101, 223101, 268101, 283101, 327101 sau 399101. Se verifică, extrăgând rădăcina pătrată, că nici unul nu este pătrat perfect!
II). Dacă ultimile trei cifre sunt 184, atunci x^2 ar putea fi: 102184, 136184, 223184, 268184, 283184, 327184 sau 399184. Se verifică, extrăgând rădăcina pătrată, că doar 327184 este pătrat perfect, iar x = 572.
Cum x reprezintă şi numărul de lingouri dintr-un sac, rezultă că începerea lucrărilor de construcţie a palatului a costat 572 lingouri de aur. |
|
|
|
|
|
 |
Search problems by keywords
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Today's Problem
Top 10 most viewed problems